Ну какие-то такой мотивы у меня в голове копашились - что "Приют" сайт чей-то и у них есть причины не хотеть чего-то... А на какие деньги? Поддержка сайта все равно денег стоит...
Но все равно надо другое название : что-то что символизирует задачи. А задача - поиск (или хозяев или животных)
Но что-то надо конечно, то, что не связаное с "людьми-деньги-дающими", точнее не зависящее от них.