Отловите кошку и покажите ее ветеринару. Пусть возьмут анализы и будет понятно болеет чем кошка или нет. Можно сдать кровь кошки на лишай. У моего кота был по всей видимости лишай (на даче подхватил), но никто не заразился. Купили спрей какой-то термоядерный от грибка и все прошло. Просто надо ограничить на время лечения контакты с кошкой. Можно же не пускать ее в комнату с ребенком. Пусть побудет в коридоре како-то время (если действительно кошка болеет).