1) про погоду и температкру воды вам друг мужа уже сказал более менее точно.
2) отдыхать там хорошо везде, но в Эйлат я бы в июне уже ехать не советовала - жарковато. На Мертвое море съездить можно, но это день не больше - там просто особо нечего делать (на мой вкус) Вообще расстояния там таковы, что реально всюду поездить отправляясь все время из одной точки, особенно если друг живет в центре страны.
3)Через турфирму визу оформлять самое простое и быстрое, но приглашение от друга все равно надо. Вы приносите им приглашение, а они уже ездять и оформляют визу.
Самый бюджетный вариант перелета это Пулковский рейс. летает два раза в неделю (летом кажется даже три раза)
4) С детками там отдыхать хорошо, есть много развлекательных мест для них Сафари, Цапари,Парк обезъян, Крокодилья ферма, куча аква парков, луна парков и моторных парков, всякие детские музеи и т.д. ит.п.. Ну и само море это тоже кайф для деток.