1. Цена - при указанных условиях - нормальная.
2. Платит съёмщик - удобный вариант. Только надо регулярно забирать оплаченные квитанции себе, чтобы не потерялись. И требовать, чтобы в графе "подпись" на квитанции писали фамилию настоящего владельцы квартиры, а не свою.
3. Требовать регистрации не вправе, но попросить вежливо могут. Регистрация не даёт прав на имущественные претензии. На всякий случай проконсультируйтесь в ближайшей юр. консультации. Если вы собираетесь сдавать квартиру напрямую (без договора, или с договором, но мимо налоговой) - чтобы дальше не было проблем.