Меня тоже смущает сухость и некая абстрактность такого варианта: подписываться "Клуб..." Я даже подумала, что не лучше ли вообще без подписи и без обратного адреса. Таинственное письмо от таинственного незнакомца

Хотя тоже есть минусы. Например, что дети могут подумать на своих бросившиз их близких и птом в очередной раз разочароваться. И не будет ли сбоя на почте, если не указать обратный адрес. Но есть и плюсы - сюрпризность и загадочность таких открыток.
Подписывать имя и указывать, что "член Клуба..." тоже странненько звучит. %(
И с "каким-то" адресом не выйдет. У меня, например, нет такого адреса или а/я.