Как человек не так давно прошедший ч/з подобное:
1. больница Боткина - это для взрослых, для детей есть специализированное место (адрес можно узнать в любой районной поликлиннике);
2. клещевой энцефалит - это далеко не все, что переносит клещ. Есть более значительные инфекции, причем инкубационный период у них большой (буквально - ч/з полгода могут проявиться очень неприятные вещи);
3. ваша задача найти больницу и привезти туда ребенка для анализа, он будет готов где-то ч/з неделю и тогда вам скажут бояться или нет.

Удачи!
главное - это не тянуть, а сделать все как можно скорее.