Вызывайте врача на дом, с кашлем точно идти никуда не надо. В крайнем случае в "вызове" скажите, что кашель участился-усилился. Сколько будете сидеть зависит от врача, для детей норм жестких вроде бы нет. По меньшей мере требуйте сидеть до окончания насморка, а там как получится.
Выздоравливайте!