Танюш, прописывают ребёнка только к одному из родителей. То есть обязательным условием является, что по адресу, куда регистрируете ребёнка, должен быть зарегистрирован отец или мать.
Для регистрации документы: паспорта родителей, свидетельство о рождении, справка с места прописки родителей. Есть тонкости, если родители прописаны в разных местах, но я думаю это не ваш случай.

Гражданство устанавливается по гражданству родителей. Если оба граждане России - то нужны паспорта родителей, свидетельство о браке, свидетельство о рождении и копии всех этих документов.

Собес - это отдел социальной защиты населения, там оформляют выплату пособий на ребёнка.

В поликлинику нужен медицинский страховой полис. Чтобы его сделать, нужна справка с места прописки ребёнка, паспорт одного из родителей и свидетельство о рождении.